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0 elevato alla 0...un po' di chiarimenti

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0 elevato alla 0...un po' di chiarimenti

Messaggio  Diabolyka... il Lun 28 Gen 2008, 11:46

"Zero elevato alla zero"… una discussione tra matematici…
Riporto alcune spiegazioni da diversi punti di vista!!!

1.L'espressione 00=1 è continuamente usata in matematica (al pari della 0!=1).
Essa e' utilizzata nei polinomi e nelle serie di Taylor quando si assume x=x_0 e quindi il primo termine dello sviluppo diventa: f(x_0) (x_0-x_0)=00/ 0! e questa espressione è posta uguale a f(x_0). Il problema di definire sempre 00=1 e' dato dalla funzione h(x,y)=xy che è definita nel rettangolo (0,+` )X(-` ,+` ) e per x=0 e y>0.
Se ponessimo h(0,0)=1 avremmo che la funzione h(x,y) sarebbe definita anche nell'origine, ma non sarebbe, in quel punto, continua.

2.Quanto fa 00?
Mathcad, Derive, la calcolatrice di Windows rispondono 1.
La TI-89 e la TI92 rispondono 1 dando però il messaggio "Warning: 00 replaced by 1.
La calcolatrice di Cabri, Maple, Excel danno messaggio di errore.
Secondo me è coerente definire 00=1, perchè il limite di xx, per x tendente a 0+, è 1.
In molte situazioni algoritmiche fa molto comodo avere 00=1, e risulterebbe assai fastidioso il contrario. Per esempio, se voglio il polinomio di 2°grado che passa per 3 punti (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), posso costruire rapidamente la matrice M dei coefficienti mediante il comando

for i, 1, 3
for j, 0, 2
M[i, j]:=xi^j

Se una delle ascissa è 0 occorre proprio calcolare00, e il coefficiente corrispondente al termine noto è comunque 1.

3.Un possibile modo di vedere la questione di come definire 00viene dalla considerazione della categoria degli insiemi finiti e funzioni. Se m e n sono interi non negativi, definiamo mn (m elevato a n) come il numero delle funzioni da un insieme con n elementi a un insieme con m elementi.
Da questa definizione segue che 00=1 (dall'insieme vuoto all'insieme vuoto c'è un'unica funzione, l'identita' del vuoto). Più in generale, per ogni intero non negativo m, abbiamo m0=1 (dall'insieme vuoto a un qualunque insieme c'è un'unica funzione).
Se n è positivo, 0n=0 (non ci sono funzioni da un insieme non vuoto all'insieme vuoto).

4.Quando si estende una definizione, bisogna stare attenti agli scopi dell'estensione, e a che cosa si rinuncia con quella estensione. Il principio guida dovrebbe essere -secondo Frege - il "principio di
permanenza delle proprietà formali". Dunque e' a priori diverso se si parla di interi o di reali (in
particolare, è l'esponente che conta).
Nel caso di esponenti interi, mi pare, a una rapida scorsa, la posizione 00=0 farebbe decadere la proprietà an/am = an-m per n=m . Le altre mi pare funzionerebbero.
Il fatto che formule del tipo potenza del binomio vadano bene con la posizione 00= 1
- quando c'è ak bn-k - rafforza la convenzione. Anche la risposta di Lastaria è interessante, ma sempre nello stesso ambito, se pur non nella stessa ottica.

Se però gli esponenti sono reali o complessi, la faccenda cambia aspetto. Da analista, infatti, concordo sostanzialmente con Firmani. Nelle serie di Taylor va bene, perchè l'esponente è intero, e quindi il problema della continuità non si pone se non sulla base, dove è coerente con il prolungamento 00=1, che però viene da z0, non da zt.
Chi vuole salvaguardare la continuita' non puo' definire00. Il ragionamento di Michele Impedovo per xx, non funziona: altrimenti dovremmo porre anche
0/0 = 1, perche' x/x -> 1....

Cosi' ho dato un colpo al cerchio e uno alla botte, ma mi conforta il Poeta -
con la P maiuscola:

E questo ti sia sempre piombo ai piedi
Per farti mover lento com’uom lasso
E al sì e al no che tu non vedi:
chè quelli è tra gli stolti bene a basso
che sanza distinzione afferma e nega
così nell’un come nell’altro passo

5.1) se voglio vedere 00come caso particolare di x0, è giusto porlo =1
2) se voglio vedere 00come caso particolare di 0x, è giusto porlo =0
3) non posso usare tutte e due le definizioni, e vi sono alcuni contesti matematici (per esempio: serie di Taylor, permanenza delle proprietà formali delle potenze, e anche la nozione di oggetto iniziale in teoria delle categorie) che fanno preferire la prima definizione alla seconda.

Esempio:
Riguardo 00 vorrei solo aggiungere che sn è il numero di modi di mettere n biglie distinguibili in s scatole pure distinguibili. In altri termini è il numero di funzioni da un n-insieme ad un s-insieme. Pertanto, in quanti modi si possono mettere 0 biglie in 0 scatole?
in 1 modo, nel modo vuoto. Cioè formalmente esiste una ed una sola applicazione vuoto ® vuoto, il cui grafico è vuoto. Cioè, in una teoria degli insiemi tipo ZF, in termini di cardinalità si ha 00 = 1.

Prof cerchi di chiarirmi di più questi concetti...purtroppo sono piuscita a trovare solamente queste informazioni (sottoforma di discussione)!!!!
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Diabolyka...

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Re: 0 elevato alla 0...un po' di chiarimenti

Messaggio  rina93 il Ven 08 Feb 2008, 20:53

io prof ho cercato su google e sul sito della bocconi ho trovato questo curioso intervento...peccato che non l'abbia minimamente capito...

Quanto fa 0alla0?
Mathcad, Derive, la calcolatrice di Windows rispondono 1.
La TI-89 e la TI92 rispondono 1 dando però il messaggio "Warning: 0alla0 replaced by 1.
La calcolatrice di Cabri, Maple, Excel danno messaggio di errore.
Secondo me è coerente definire 0alla0=1, perchè il limite di xx, per x tendente a 0+, è 1.
In molte situazioni algoritmiche fa molto comodo avere 0alla0=1, e risulterebbe assai fastidioso il contrario. Per esempio, se voglio il polinomio di 2°grado che passa per 3 punti (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), posso costruire rapidamente la matrice M dei coefficienti mediante il comando

for i, 1, 3
for j, 0, 2
M[i, j]:=xi^j

Se una delle ascissa è 0 occorre proprio calcolare0alla0, e il coefficiente corrispondente al termine noto è comunque 1.



considerando che mi sono troppo incuriosito, può spiegarmelo con un linguaggio un pò più quattordicenne ed abbordabile? grazie.
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rina93

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